Зинн-Жюстен Ж. Континуальный интеграл в квантовой механике.

Формулировка квантовой теории через интегралы по траекториям — Википедия. Формулировка через интеграл по траекториям квантовой механики — это описание квантовой теории, которое обобщает принцип действия классической механики. Оно замещает классическое определение одиночной, уникальной траектории системы полной суммой (функциональным интегралом) по бесконечному множеству всевозможных траекторий для расчёта квантовой амплитуды. Методологически формулировка через интеграл по траекториям близка к принципу Гюйгенса — Френеля из классической теории волн. Формулировка через интеграл по траекториям была развита в 1.

Формулировка квантовой механики в терминах континуального интеграла дает более глубокое понимание соотношения между .

• Континуальный интеграл в квантовой механике, Ж. Зинн-Жюстен.
• Формулировка через интеграл по траекториям квантовой механики — это описание. Зинн-Жюстен Ж. Континуальный интеграл в квантовой механике. Методы приближенного .

Ричардом Фейнманом. Некоторые предварительные моменты были разработаны ранее при написании его диссертации под руководством Джона Арчибальда Уилера.

Эта формулировка была ключевой для последующего развития теоретической физики, так как она явно симметрична во времени и пространстве. Непохожий на предыдущие методы, интеграл по траекториям позволяет физику легко переходить от одних координат к другим при каноническом описании одной и той же квантовой системы.

Интеграл по траекториям также относится к квантовым и стохастическим процессам, и это обеспечило базис для великого синтеза 1. Уравнение Шрёдингера при этом является уравнением диффузии с мнимым коэффициентом диффузии, а интеграл по траекториям — аналитическим продолжением метода суммирования всех возможных путей. По этой причине интегралы по траекториям были использованы для изучения броуновского движения и диффузии немного ранее, чем они были представлены в квантовую механику. Формулировка через интегралы по траекториям Леви ведёт к дробной квантовой механике и дробному расширению уравнения Шрёдингера.

Это означает, что состояние через бесконечно малое время dt. Для состояний с определённой энергией это выражает соотношение де Бройля между частотой и энергией, а общее отношение согласуется с ним с учётом принципа суперпозиции. Но гамильтониан в классической механике выводится из лагранжиана, который является более фундаментальной величиной в соответствии со специальной теорией относительности. Гамильтониан описывает развитие системы во времени, но представление о времени изменяется при переходе от одной системы отсчёта к другой. Таким образом, гамильтониан различен для разных систем отсчёта, и в начальной формулировке квантовой механики её Лоренц- инвариантность не очевидна.

Гамильтониан является функцией координат и импульсов, и по нему определяются координаты и импульсы в более поздний момент времени. Лагранжиан — это функция координат в данный момент и координат немного позднее (или, эквивалентно для бесконечно малых промежутков времени, это есть функция координат и скорости).

Первый и второй связаны преобразованием Лежандра, и условие, определяющее классические уравнения движения — это условие на минимум действия. В квантовой механике преобразование Лежандра трудно интерпретировать, так как движение происходит не по определённой траектории. В классической механике с дискретизацией по времени. Обратное преобразование Лежандра. Оператор p имеет определённое значение только на состояниях, которые не имеют определённого q. Тогда представим два состояния, разделённых во времени, и подействуем на них оператором, соответствующим лагранжиану: e.

Это действие производится над гильбертовым пространством — переход к переменной p(t) в момент времени t. Далее следует множительe.

Первая и последняя части совершают преобразование Фурье к промежуточной переменной p(t) и обратно. Гамильтониан — функция p и q, поэтому экспонирование этой величины и изменение базиса с p на q на каждом шаге позволяет выражать матричный элемент H как простую функцию вдоль каждого пути. Эта функция является квантовым аналогом классического действия. Данное наблюдение впервые сделано Дираком. Дирак позднее заметил, что можно взять квадрат оператора эволюции в S- представлении: ei.

В то время как в H- представлении величина, которая суммируется по промежуточным состояниям, является неочевидным матричным элементом, в S- представлении она ассоциируется с путём. В пределе большой степени этого оператора он реконструирует полную эволюцию между двумя состояниями: ранним, которому соответствуют фиксированные значения координат q(0), и поздним — с фиксированным q(t). Spotlight 3 Упражнения. Результат является суммой по путям с фазой, являющейся квантовым действием.

Работа Дирака не давала точного алгоритма расчёта сумм по путям, и она не показывала, как можно из этого подхода получить уравнение Шрёдингера или канонические коммутационные соотношения. Это было сделано Фейнманом. Фейнман показал, что квант действия Дирака в большинстве интересных случаев просто равен классическому действию, соответственно дискретизированному. Это означает, что классическое действие является фазой, набегающей при квантовой эволюции между двумя фиксированными конечными точками. Он предложил вывести всю квантовую механику из следующих постулатов: Вероятность события получается как квадрат модуля комплексного числа, называемого «амплитудой».

Амплитуда получается сложением вместе вкладов всех историй в конфигурационном пространстве. Вклад истории в амплитуду пропорционален ei. S/. В расчёт амплитуды одиночной частицы, которая движется из одного места в другое за заданное время, необходимо включать истории, в которых частица описывает причудливый узор, в которых частица «вылетает в космос» и летит обратно, и так далее. Интеграл по траекториям считает все эти амплитуды историй равными по величине (модулю), но различающимися по фазе (аргументу комплексного числа). Вклады, которые существенно отличаются от классической истории, подавляются только интерференцией с вкладами схожих историй с противоположной фазой (смотрите ниже). Фейнман показал, что эта формулировка квантовой механики эквивалентна каноническому подходу к квантовой механике, когда Гамильтониан квадратичен по импульсу. Амплитуда, вычисленная согласно фейнмановским принципам, также порождает уравнение Шрёдингера для гамильтониана, соответствующего данному действию.

Классические принципы действия ведут к затруднению из- за своей идеальности: вместо того, чтобы предсказывать будущее из начальных условий, они предсказывают путь к заданному будущему через комбинацию начальных и конечных условий, как если бы система каким- то образом знала, в какое состояние она должна прийти. Интеграл по траекториям объясняет работу классического принципа действия в терминах квантовой суперпозиции. Система не обязана знать заранее, куда она движется — интеграл по траекториям просто вычисляет амплитуду вероятности для любого заданного процесса, и траектория идёт по всем возможным направлениям. Однако спустя достаточно долгое время эффекты интерференции гарантируют, что только вклады от стационарных точек действия дают истории со значимыми вероятностями. Стационарные же точки действия соответствуют классическим траекториям, так что система в среднем движется по классическому пути.

Постулаты Фейнмана могут быть интерпретированы следующим образом: Для частицы, находящейся в гладком потенциале, интеграл по траекториям, который в одномерном случае является произведением обыкновенных интегралов, приближают зигзагообразными путями. При движении частицы из положения x=xa. Этот процесс называется квантованием времени. Приближение для интеграла по траекториям пропорционально выражению. Например, можно взять центр отрезка: x~j=xj+xj.

Только после замены времени t на другой зависящий от траектории параметр («псевдовремя») s=. Совместное применение преобразования время—«псевдовремя» и преобразований координат является важным методом для вычисления многих интегралов по траекториям и называется преобразованием Duru–Kleinert. В представлении интеграла по траекториям квантовая амплитуда движется от точки x к точке y как интеграл по всем траекториям. Для свободной частицы действие (m=1. Каждый множитель в произведении является гауссианом как функцией от x(t + . Множественные интегралы — это повторяющиеся свёртки этого гауссиана G.

Функциональный интеграл — Википедия. Функциональный интеграл (континуальный интеграл, интеграл по траекториям, фейнмановский интеграл по траекториям) — запись или результат функционального интегрирования (интегрирования по траекториям).

Находит наибольшее применение в квантовой физике (квантовой теории поля, теории струн и т. В частности, этот результат можно принять за определение функционального интеграла для этого случая и доказать, что, будучи так определённым, он действительно обладает свойствами интеграла: допускает интегрирование по частям, замены переменных и т. Это в общем- то сравнительно очевидно в простых случаях. Было показано, что подобный способ порождения континуального интеграла с обычным действием работает и в двумерном случае — для получения действия для струны (двумерного объекта, учитывая временное измерение). Аналогией интеграла по траекториям для точечной частицы является статистическая сумма (статистический вес) для полимерной нити.

Затем (обычные) интегралы, входящие в формулу, точно берутся (как гауссовы), и тогда можно перейти к пределу. Вычислительные методы, связанные с нахождением значений континуальных интегралов при помощи ЭВМ, в том числе квадратурные формулы типа формул Симпсона и другие методы к 2. Подробнее см. Лобанова. Первое появление интегралов по траекториям относится, по- видимому, к работам Эйнштейна и Смолуховского. Однако до сих пор строгая и достаточно полная их математическая теория встречается с существенными трудностями (связанными с вопросом корректного введения меры на пространстве функций, с проблемой доказательства независимости предела от типа разбиения в достаточно общем случае). В 1. 93. 3 году (в работе «Лагранжиан в квантовой механике») Дирак предложил идею использования интеграла по траекториям в квантовой механике.

Фейнман в конце 1. Это означало появление технически нового (имевшего — кроме чисто технических — к тому же ряд интуитивных преимуществ) метода построения квантовых теорий, ставшего впоследствии едва ли не самым популярным среди теоретиков. Уже сам Фейнман на основе формализма континуального интеграла построил такую базовую технику квантовой теории поля, как диаграммы Фейнмана. С помощью использования континуального интеграла были получены такие фундаментальные результаты, как, например, доказательство перенормируемости теории Янга — Миллса (Фаддеевым и Поповым). Метод вторичного квантования. Континуальный интеграл в квантовой механике. Методы приближенного функционального интегрирования для численного исследования моделей в квантовой физике (диссертация на соискание ученой степени доктора физико- математических наук).

Калибровочные поля и струны. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической механике. А., Фаддеев Л. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. Г., Шавгулидзе Е. Континуальные интегралы. Квантовая механика и интегралы по траекториям. Метод континуального интеграла в квантовой теории поля.